Выбор прогнозирующей модели

Итак, мы рассмотрели основные методы моделирования процессов, описываемых временными рядами – три вида регрессии, метод Хольта-Винтерса и метод авторегрессии различных порядков. Но один вопрос все еще требует ответа – какая из этих моделей является лучшей, или, другими словами, какую из моделей следует выбрать, если нашей целью является прогнозирование по временному ряду. На этот вопрос нет однозначного ответа, поскольку проверить качество прогноза можно будет только в будущем, сравнив предсказанное значение с реальностью. Но следует ожидать, что модель, хорошо описывающая существующие данные, будет также хорошо прогнозировать.

Основными приемами при оценке качества модели, ее адекватности описываемым процессам, будет выполнение анализа остатков, определение величины нескомпенсированных остаточных ошибок и применение принципа простоты модели.

Построив модель любого вида мы можем получить расчетные величины отклика для каждой из точек временного ряда и сравнить их с наблюдаемыми. Невязка в каждой точке ряда определяется соотношением вида

где обозначает рассчитанное по модели значение отклика. Для качественного сравнения моделей обычно строят графики зависимости e от X по полному периоду наблюдений для каждой из моделей. Иногда вместо невязок рассчитывают стандартизованные разности моделей, но жизненной необходимости в этом более сложном приеме нет, так как все равно выводы будут в лучшем случае полуколичественные. Если модель не имеет систематических дефектов, то невязки должны быть случайно разбросаны относительно уравнения модели, не демонстрируя систематического шаблона, поскольку в невязках заключены ошибка выбора модели и нерегулярная компонента процесса, принимаемая случайной. Если же в модели имеется дефект, то случайность распределения невязок уступает место некоторой системе, анализ которой иногда позволяет обнаружить пути улучшения модели.

На представленном рисунке заметно, что в первом случае (a) остатки распределены равномерно и случайно, на втором (b) – проявляется выраженный тренд в значениях ошибок, что говорит о некорректном учете трендовой составляющей моделируемого процесса. Третий график (c) показывает дефект модели в отношении циклической составляющей процесса: невязки демонстрируют медленные непериодические колебания относительно нулевого уровня. Четвертый рисунок (d) демонстрирует ошибку модели, связанную с некорректным учетом сезонного эффекта – отчетливо заметны периодические изменения в значении остатков с длиной периода в один год.

В нашем случае все три регрессионные модели показывают медленные вариации относительно нулевой линии, что говорит о некорректном учете циклической составляющей в этих моделях. В квадратичной и экспоненциальной модели это заметно меньше, чем в линейной, поскольку в линейной гораздо отчетливее проявляется вариационный образ ряда. Более того, в первой своей половине (1970-1980 гг.) в линейной модели явно выражен дефект учета тренда. Это не удивительно – простейшие регрессионные модели обычно хорошо описывают исключительно трендовую составляющую, а для описания циклической требуется привлекать более сложные методы, например построение регрессии на полиномах высоких порядков. Наконец, все регрессионные модели показывают заметный рост величины невязок в конце временного ряда; это может быть связано как с возрастанием величины ошибок моделей в последние анализируемые годы из-за неполного учета резко возросшего объема продаж, но может и просто оказаться артефактом, который скомпенсировался бы переходом от невязок к стандартизованным разностям ряда (более тщательный анализ показал, что это следствие ошибки модели).

В случае моделей Хольта-Винтерса и авторегрессии вариации в невязках имеют меньшую величину, цикл в значениях едва ли вырисовывается и потому эти модели предпочтительнее чисто регрессионных. Заметный рост величины невязок к концу временного ряда в модели авторегрессии второго порядка вызван теми же причинами, что и в чисто регрессионном анализе, а кроме того авторегрессионные модели плохо отслеживают резкие изменения в отклике системы, которые и происходили во второй половине рассматриваемого периода времени.

Таким образом мы приходим к выводу, что данные временного ряда в рассматриваемом случае лучше описаны моделями Хольта-Винтерса и авторегрессии второго порядка, и прогнозы, рассчитываемые по этим моделям, должны быть более надежны.