Метод авторегрессии

Еще один метод, полезный для прогнозирования по временным рядам, основан на авторегрессионных моделях. Обычно обнаруживается, что значения отклика в некоторой точке временного ряда сильно коррелировано с несколькими предшествующими и/или последующими значениями. Действительно, для многих явлений их современное состояние функционально определяется предшествующими состояниями системы, в большей степени недавними, в гораздо меньшей – далеко отстоящими от заданного по временному ряду. Подобные связи принято называть автокорреляцией – корреляцией ряда с самим собой.

Автокорреляция первого порядка характеризует тесноту связи между соседними значениями временного ряда, автокорреляция второго порядка – между отстоящими друг от друга на два периода etc. И вообще, автокорреляция n-го порядка относится к степени связанности откликов, разнесенных на n периодов. Предполагая, что возникшая связь между значениями сохранится некоторое время в будущем, мы получаем механизм прогнозирования, основанный на построении регрессии точек ряда на самих себя, то есть – авторегрессии.

Авторегрессионные модели разных порядков – первого, второго, в общем случае n-ого – можно описать уравнениями следующего вида:

где b₀ - константа (свободный член) авторегрессионного уравнения, b₁, b₂,... b_n – коэффициенты авторегрессии, Y_i - величина отклика в некоторый момент времени, Y_i–1, Y_i–2,...Y_i–n – соответственно отклики одним, двумя,... n периодами ранее заданного, – нескоррелированная случайная компонента, присутствующая в отклике и связанная с ошибками наблюдения и погрешностями модели.

Понятно, что применяя средства регрессионного анализа пакетов Quattro Pro и Excel, можно строить авторегрессионные зависимости также элегантно, как и простые уравнения регрессии. Зависимой переменной при построении авторегрессии первого порядка будет сам временной ряд, а независимой – он же, но смещенный на одно значение вниз. Таким образом, второе значение ряда будет определяться регрессией на первой значение, третье – регрессией на второе и так далее. Ниже на странице приведены итоговые результаты построения уравнения авторегрессии первого порядка, но Вы также можете загрузить таблицу в формате Quattro или в формате Excel и выполнить упражнение, а затем сравнить свои результаты с представленными здесь.

Результаты расчета коэффициентов авторегрессии

Наблюдаемые значения отклика и расчет по модели авторегрессии

Графическое представление результатов моделирования методом авторегрессии 1-го порядка в данном случае не требуется, поскольку еще нет уверенности, что модель хороша по статистическим критериям, тем не менее уже наблюдается хорошее соответствие расчета наблюдаемым величинам, а значит, и прогноз должен быть удовлетворительным.

Для построения надежного прогноза нам потребуется выбрать лучшую модель из многих авторегрессионных, и определение порядка этой лучшей модели часто оказывается нетривиальной задачей, включающей расчет статистических характеристик многих построенных моделей и нахождение хрупкого баланса между относительной простотой моделей низких порядков и игнорированием в этих моделях некоторых тонких взаимодействий между факторами, которые могут быть учтены только в более сложных моделях.

Обычно в эпоху до широкого распространения персональных компьютеров предпочитали начинать построения с моделей высоких порядков, а затем постепенно ее упрощать, последовательно снижая порядок модели. В настоящее время чаще поступают строго наоборот, начиная с простейшей модели, и при необходимости усложняя ее.

В данном случае получено очень высокое значение коэффициента корреляции r² = 0.978, а стандартная ошибка регрессии невелика. И все-таки главным инструментом анализа качества авторегрессии служит проверка значимости коэффициента регрессии самого высокого порядка из рассчитанных. Критерий Стьюдента в данном случае для единственного рассчитанного коэффициента b₁ равен 29.654 и его следует сравнить с табличной величиной одностороннего критерия Стьюдента, и проще всего, учитывая симметричность распределения, рассчитать его для удвоенного уровня значимости. Обычно мы принимаем доверительную вероятность на уровне 0.95, но функции и @tinv в Quattro и СТЬЮДРАСПОБР в Excel требует при расчете указания не вероятности, а уровня значимости, который в данном случае равен 0.05; поэтому мы обращаемся к функции с удвоенным значением, равным 0.1, и получаем величину 1.725. Гипотеза о незначимости коэффициента регрессии в данном случае отвергается и следует признать модель первого порядка приемлемой. Оценку значимости коэффициентов можно проводить и по Z-критерию, однако этот прием не принят в отечественной статистике.