Метод Хольта-Винтерса

Этот метод, названный именами его авторов, является изощренным усовершенствованием метода экспоненциального сглаживания временного ряда. Экспоненциальное сглаживание обеспечивает наглядное представление о тренде и позволяет делать краткосрочные прогнозы, а при попытке распространить прогноз на больший период получаются совершенно бессмысленные значения: создается впечатление, что развитие процесса в сторону роста или убывания совершенно прекратилось - на любой период будущего прогнозируются одни и те же значения отклика.

Более изощренный (или, если хотите, утонченный) метод Хольта-Винтерса успешно справляется и со среднесрочными, и с долгосрочными прогнозами, поскольку он способен обнаруживать микротренды (тренды, относящиеся к коротким периодам) в моменты времени, непосредственно предшествующие прогнозным, и экстраполировать эти тренды на будущее. И хотя возможна только линейная экстраполяция в будущее, в большинстве реальных ситуаций ее оказывается достаточно.

При использовании метода необходимо последовательно вычислять сглаженные значения ряда и значение тренда, накопленное в любой точке ряда.

где через E и T обозначены сглаженное значение ряда и тренд, рассчитываемые по всем точкам ряда, а U и V – константы сглаживания, относящиеся к оценкам уровня и тренда соответственно. Выбор значений этих констант опять-таки является крайне субъективным. Из приведенных уравнений метода следует, что значения U и V могут находится в интервале (0..1), но чаще всего исследователь выбирает их значения из более узкого диапазона [0.25 < U,V < 0.5] и при этом значения констант не обязаны совпадать. Лучше всего, если нет специальных соображений, начать моделирование с U = V = 0.3, а затем по необходимости их несколько варьировать. При более высоких значениях U в большей степени учитываются прошлые значения ряда и тенденция развития процесса, чем мгновенные; аналогично более высокие значения V переоценивают прошлое движение процесса по сравнению с современным.

В первой точке ряда значения E₁ и T₁ не рассчитываются, для их расчета не существует предшествующих экспериментальных значений. Во второй точке ряда принимается, что сглаженное значение E₂ в точности равно наблюдаемому Y₂, а микротренд за этот период считается линейным и рассчитывается как разность между текущим и прошлым значениями отклика T₂ = Y₂ – Y₁. Начиная с третьей точки уже можно пользоваться указанными выше формулами: вначале рассчитывается сглаженное значение E₃ по сглаженному значению и микротренду для прошлой точки ряда и отклику для текущей точки, а затем рассчитывается новый микротренд по своему предшествующему значению и разности между прошлым и только что оцененным сглаженным значением. Затем описанная процедура повторяется по всем последующим точкам временного ряда.

Поскольку схема расчета циклична, ее опять-таки удобнее всего реализовывать в электронных таблицах. Вы можете загрузить таблицу Quattro или таблицу в формате Excel и выполнить упражнение, а затем сравнить свои результаты с представленными ниже или сразу посмотреть итоговые результаты моделирования объема продаж фирмы Kodak по методу Хольта-Винтерса и их обсуждение.

Работа в Quattro Pro

Расположите окна с табличным процессором и браузером так, чтобы Вам было удобно с ними работать. Если разрешение монитора невелико, просто переключайтесь между окнами. Вначале выполним расчет для коэффициентов U = 0.3 и V = 0.3. Ячейки C7 и D7, закрашенные красным, не будут использоваться в расчетах. В ячейку C8 введите формулу +B8. В ячейку D8 введите формулу +B8–B7. В ячейку C9 введите формулу +C$5*(C8+D8)+(1-C$5)*B9. В ячейку D9 введите формулу +D$5*D8+(1-D$5)*(E9-E8). Скопируйте формулу из ячейки C9 вниз по колонке до ячейки C29 включительно. Скопируйте формулу из ячейки D9 вниз по колонке до ячейки D29 включительно. В ячейку C30 введите формулу +C29+D29*1. В ячейку C31 введите формулу +C29+D29*2. В ячейку C32 введите формулу +C29+D29*3. В ячейку C33 введите формулу +C29+D29*4. Вызовите функцию построения графика. В качестве оси X укажите года, выделив все ячейки от A7 до A33. В качестве первой серии укажите все ячейки от B7 до B29. В качестве второй серии укажите все ячейки от C7 до C33. При необходимости измените цвета кривых и отмените вывод маркеров на графике. Сравните вид Вашего графика и Ваши данные с тем, что представлено на странице пособия. Можно при этом округлить рассчитанные значения так же, как это сделано в пособии. Выполните аналогичные расчеты для других значений коэффициентов U и V в колонках E,F и G,H соответственно. При желании можно добавить к графику две новые серии – из блоков ячеек E7..E33 и G7..G33. Сохраните таблицу с расчетами в нужном Вам каталоге или закройте систему Quattro Pro без сохранения результатов.

Работа в MS Excel

Расположите окна с табличным процессором и браузером так, чтобы Вам было удобно с ними работать. Если разрешение монитора невелико, просто переключайтесь между окнами. Вначале выполним расчет для коэффициентов U = 0.3 и V = 0.3. Ячейки C7 и D7, закрашенные красным, не будут использоваться в расчетах. В ячейку C8 введите формулу =B8. В ячейку D8 введите формулу =B8–B7. В ячейку C9 введите формулу =C$5*(C8+D8)+(1-C$5)*B9. В ячейку D9 введите формулу =D$5*D8+(1-D$5)*(E9-E8). Скопируйте формулу из ячейки C9 вниз по колонке до ячейки C29 включительно. Скопируйте формулу из ячейки D9 вниз по колонке до ячейки D29 включительно. В ячейку C30 введите формулу =C29+D29*1. В ячейку C31 введите формулу =C29+D29*2. В ячейку C32 введите формулу =C29+D29*3. В ячейку C33 введите формулу =C29+D29*4. Вызовите функцию построения графика. В качестве оси X укажите года, выделив все ячейки от A7 до A33. В качестве первой серии укажите все ячейки от B7 до B29. В качестве второй серии укажите все ячейки от C7 до C33. При необходимости измените цвета кривых и отмените вывод маркеров на графике. Сравните вид Вашего графика и Ваши данные с тем, что представлено на странице пособия. Можно при этом округлить рассчитанные значения так же, как это сделано в пособии. Выполните аналогичные расчеты для других значений коэффициентов U и V в колонках E,F и G,H соответственно. При желании можно добавить к графику две новые серии – из блоков ячеек E7..E33 и G7..G33. Сохраните таблицу с расчетами в нужном Вам каталоге или закройте систему Excel без сохранения результатов.

Результаты расчета коэффициентов регрессии

При расчете прогноза в методе Хольта-Винтерса предполагается, что сглаженное значение в последней точке является опорным, а определенный для нее микротренд сохранит свое значение и в будущем; функция прогноза оказывается линейной, и тогда

где j - номер периода в будущем, на который рассчитывается прогноз. Было бы слишком наивным надеяться, что микротренд, выступающий в функции прогноза в качестве коэффициента пропорциональности, сможет сохранить свою оценку на значительный период времени в будущем, но уж во всяком случае за 4-5 периодов он не сможет значительно измениться, и мы получим достоверный прогноз. Что же для более отдаленного будущего, то необходимо применение иных методов, которые не применяются в экономике хотя бы по той простой причине, что "как всем известно, предсказать состояние экономических показателей возможно не более чем на 20 минут вперед" (Ст. Лем, Экстелопедия Вестранда. Мнимая величина и Идеальный вакуум).

Графическое представление результатов для случая U = 0.3; V = 0.3 показывает хорошее соответствие между сглаженным и наблюдаемыми значениями отклика практически по всему ряду, и от метода в данном случае естественно ожидать хороших средне- и долгосрочных прогнозов. Оценить же ошибку прогноза нет возможности, поскольку невозможно построить статистические характеристики модели, сопоставимые с характеристиками моделей, построенных регрессионными методами. И хотя можно определить невязки в точках ряда и остаточную сумму квадратов модели, невозможно рассчитать дисперсию адекватности ввиду отсутствия достоверной информации о числе степеней свободы. Можно, правда, условно принять, что в процессе вычислений теряются две степени свободы, связанные коэффициентами U и V, и таким образом число степеней свободы на 2 меньше числа точек ряда, но серьезному статистику подобные рассуждения покажутся слишком спекулятивными. Если же не требовать от метода излишней строгости, подобную оценку вполне можно использовать.