Экспоненциальная модель

Когда у исследователя создается впечатление, что на заданном для анализа участке временного ряда происходит постоянное ускорение процесса роста показателя, имеет смысл попробовать приблизить исходные данные функцией вида

где b₀ – множитель, а b₁ – оценка годовой нормы прироста показателя. Эта модель существенно нелинейна, но может быть сведена к линейной посредством логарифмирования.

Теперь зависимость логарифма значения временного ряда от момента наблюдения становится линейной, так что снова можно применить простейший вариант регрессионного анализа. При этом предварительно следует прологарифмировать значения Y (будет ли это десятичный, или натуральный логарифм – безразлично; мы будем использовать натуральные логарифмы) и учесть, что после построения регрессии константа уравнения в действительности будет равна логарифму множителя, коэффициент пропорциональности соответственно логарифму нормы прироста показателя. Прогноз по модели можно будет выполнить аналогично линейному случаю, но важно, что после получения численного значения придется взять его экспоненту, чтобы перейти к тем же натуральным показателям, что и в значениях исходного ряда. Соответственно ошибки прогноза будут рассчитаны не для самого показателя, а для его логарифма, и для получения интервальной оценки также потребуется потенцирование. Тем не менее все эти операции не представляют особой сложности в электронных таблицах.

Вы можете сразу посмотреть итоговые результаты экспоненциального моделирования объема продаж фирмы Kodak и выводы, либо загрузить таблицу в формате Quattro или в формате Excel и выполнить упражнение, а затем сравнить свои результаты с представленными ниже.

Результаты расчета коэффициентов регрессии

В данном случае константа и коэффициент регрессии относятся именно к прологарифмированному уравнению, поэтому после получения прогноза непосредственно из уравнения регрессии (5-я колонка таблицы внизу, прогнозные значения) следует пропотенцировать рассчитанные результаты, чтобы получить прогноз в нужных величинах.

Наблюдаемые и рассчитанные значения отклика

В данном случае модель предсказывает объем чистых продаж на 1993 год на уровне 24.8 миллиарда долларов, что заметно выше прогноза по прочим моделям. Качество экспоненциальной модели можно грубо оценить по коэффициенту корреляции (0.97 - очень высокое значение, хотя и сравнимое со случаем квадратичной модели). Но прямое сравнение этих двух моделей по критерию Фишера непосредственно из результатов регрессионного анализа невозможно, поскольку в квадратичной модели отклик задан в натуральных величинах, а в экспоненциальной - в их логарифмах, и стандартная ошибка модели рассчитана именно для логарифма отклика. И тем не менее дисперсионное сопоставление выполнить можно: следует только рассчитать дефект модели в каждой точке ряда, возвести разности в квадрат, просуммировать по всему ряду и поделить на число степеней свободы – получится значение дисперсии адекватности модели именно для натуральных показателей ряда. В нашем случае дисперсия адекватности экспоненциальной модели выше дисперсии для квадратичной, но ниже, чем для линейной, хотя все эти модели неразличимы с точки зрения критерия Фишера при доверительной вероятности 95%. Что касается применения критерия Стьюдента к коэффициенту экспоненциальной модели, то он показывает отчетливую значимость при всех разумных доверительных вероятностях.

Неудивительно в свете сопоставления статистических характеристик моделей, что именно квадратичная модель в данном случае дала лучший прогноз вперед, хотя и прогнозы линейной и экспоненциальной моделей не слишком сильно отклонялись от коридора ошибок.

Следует признать, что в отношении прогнозов экономических явлений регрессионные модели на длинных временных рядах страдают тем пороком, что они учитывают и недавнее, и давно прошедшее состояние моделируемой системы с постоянным весовым фактором. Естественно рассчитывать, что эффект последних лет оказывает большее влияние на будущее состояние системы, нежели древняя история. Расчеты взвешенной регрессии также возможны, но допускают большой произвол в вопросе выбора надлежащих статистических весов для каждой точки временного ряда. Кроме того, ни один из рассмотренных методов не способен учитывать характерную цикличность экономических и большинства природных явлений, а игнорирование одной из компонент модели процесса может привести к ошибочным и даже ложным выводам. Именно для устранения избыточной субъективности исследователя и учета цикличности разработаны другие методы прогнозирования.