Квадратичная модель

Квадратичная модель (или полиномиальная второго порядка) является простейшей из криволинейных моделей. Она представляется в следующем виде:

где b₀, b₁ и b₂ - соответственно оценки свободного члена полинома, линейного и квадратичного эффектов. Эти оценки также определяются из условия минимума остаточной суммы квадратов модели Ф, а следовательно их можно найти методом, аналогичным вышеописанному. Желательно правда сместить нуль оси X приблизительно к центру временного ряда для компенсации возможных машинных ошибок округления. В качестве независимых переменных вводятся не только скорректированные значения X, но и их квадраты, зависимой переменной по-прежнему оказывается временной ряд, и в результате расчета мы получаем таблицу, во многом похожую на предыдущую.

Вы можете сразу посмотреть итоговые результаты моделирования уравнением второго порядка объема продаж фирмы Kodak и выводы, либо загрузить таблицу в формате Quattro или в формате Excel и выполнить упражнение, а затем сравнить свои результаты с представленными ниже.

Результаты расчета коэффициентов регрессии

Наши данные таким образом могут быть описаны уравнением Y = 9.021 + 0.8 * X + 0.022 * X²; именно с использованием этого уравнения был рассчитан прогноз на следующие 4 года (определяемые значениями 12, 13, 14 и 15 после смещения нуля к середине временного ряда). Коэффициент корреляции (обозначаемый в системе Quattro как "коэффициент вариации" - несомненная ошибка перевода программы на русский язык) - несколько возрос по сравнению с линейной моделью, а оценка стандартной ошибки модели несколько снизилась, что говорит об определенных преимуществах регрессии второго порядка по сравнению с линейной в том числе и в отношении ее прогнозных способностей. Рассчитанное межмодельное значение критерия Фишера не слишком велико - 1.739, и это дает преимущества квадратичной модели, но с невысокой доверительной вероятностью, не превышающей 90%.

Наблюдаемые и рассчитанные значения отклика

И тем не менее от квадратичной модели следует ожидать лучших прогнозов. В частности если линейная модель предсказывала чистые продажи для фирмы Kodak на 1993 год в объеме 19.6 миллиарда долларов, а это несколько ниже достигнутого уровня для 1992 года, последнего в серии, то квадратичная модель прогнозирует объем 21.84 миллиарда на тот же 1993 год (и как впоследствии оказалось, реальная цифра была близка к этой, и уж во всяком случае укладывалась в интервальную оценку прогноза). Ниже приведено графическое представление рассчитанных прогнозных величин; оно может оказаться полезным для интерпретации результатов.