Экспоненциальное сглаживание

Метод экспоненциального сглаживания также дает возможность оценить степень воздействия трендовой и/или циклической компоненты на отклик системы, но в отличие от метода скользящих средних, еще и может быть использован для краткосрочных прогнозов будущей тенденции на один период вперед. Именно поэтому метод обладает явным преимуществом над ранее рассмотренным.

Название метода происходит из того факта, что на самом деле при его применении получаются экспоненциально взвешенные скользящие средние по всему временному ряду; а из этого следует, что сглаженное значение в любой точке ряда является некоторой функцией всех предшествующих наблюдаемых значений. В методе скользящих средних при расчете не учитывается влияние наблюдений, отстоящих более чем на (L - 1) / 2 периодов от рассматриваемого. При экспоненциальном сглаживании учитываются все предшествующие наблюдения - предыдущее учитывается с максимальным весом, предшествующее ему - с несколько меньшим, самое "старое" наблюдение влияет на результат с минимальным статистическим весом. Ручной расчет экспоненциального сглаживания требует крайне большого объема монотонной работы, и разумный алгоритм, реализованный программно, позволяет легко и элегантно получить необходимые результаты.

Алгоритм расчета экспоненциально сглаженных значений в любой точке ряда i основан на трех величинах: наблюдаемом значении Y_i в данной точке ряда i, рассчитанном сглаженном значении для предшествующей точки ряда E_i-1 и некотором заранее заданном коэффициенте сглаживания W, постоянным по всему ряду. Понятно, что в первой точке ряда нет сглаженного значения для предшествующей точки (нет самой такой точки), и сглаженным значением E₁ считается сама наблюдаемая в этой точке величина отклика Y₁. Для всех следующих точек действует простое правило вычислений:

Это легко реализуется в электронных таблицах типа Quattro Pro или Excel. В первой строке таблицы с данными, относящимися к первой точке ряда, достаточно продублировать значение Y_i, во вторую строку внести указанное выше выражение, сославшись в расчетной формуле на наблюдаемое значение из этой же строки таблицы и сглаженное значение из предшествующей строки. Далее формула просто копируется на все остальные строки с данными временного ряда и всю заботу о выполнении вычислений возьмет на себя программа. В упражнении на следующей странице эти операции будут описаны в деталях.

Некоторой проблемой является выбор коэффициента сглаживания W, который в значительной степени влияет на результаты. К сожалению объективного критерия при его выборе не существует. При равной степени сглаживания с использованием метода экспоненциального сглаживания и метода скользящего среднего коэффициент W связан с интервалом L простым соотношением W = 2 / (L + 1); таким образом сглаживание по 5-точечной схеме эквивалентно по своему воздействию на исходные данные экспоненциальному сглаживанию с коэффициентом W = 0.33. Хотя в принципе W может принимать любые значения из диапазона 0 < W < 1, обычно ограничиваются интервалом от 0.2 до 0.5. При высоких значениях W в большей степени учитываются мгновенные текущие наблюдения отклика и наоборот, при низких его значениях сглаженная величина определяется в большей степени прошлой тенденцией развития, нежели текущим состоянием отклика системы.

Аналитики большинства фирм при обработке рядов используют "свои" традиционные значения W. Так в аналитическом отделе Kodak традиционно используют значение 0.38, а на фирме Ford Motors - 0.28 или 0.3. Вообще для динамично развивающихся фирм и рынков характерны более высокие значения W, чем для более консервативных компаний и стабильных рынков; для прогнозов используют более высокие величины, чем для анализа предшествующих тенденций. Тем не менее реальность такова, что выбор коэффициента W был и останется крайне субъективным.